基准模型

模型设定

委托人的效用函数为

B (x - w) with B^{'} > 0 and B^{″} \leq 0

$x$ 表示委托人获得的收益（结果）
$w$ 表示委托人支付给代理人的报酬
$B (\cdot)$ 为风险中性或风险规避的效用函数

代理人的效用函数为

U (w, e) = u (w) - c (e) with u^{'} > 0, u^{″} \leq 0, c^{'} > 0, c^{″} \geq 0

$e$ 表示代理人的努力程度
$U (\cdot)$ 为加法可分的效用函数
$u (\cdot)$ 为收益子函数
$c (\cdot)$ 为成本子函数

代理人努力程度为 $e$ 时结果 $x_{i}$ 发生的条件概率为

p (x_{i} ∣ e) where i \in {1, 2, \dots, n}

最优合约选择

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) B (x_{i} - w (x_{i})) \\ s.t. & \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) u (w (x_{i})) - c (e) \geq \bar{u} \end{aligned}

$p (x_{i} ∣ e)$ 表示代理人努力程度为 $e$ 时得到结果 $x_{i}$ 的条件概率
$\bar{u}$ 表示代理人的保留效用

在信息对称的情形下，代理人的努力程度是可证实的（verifiable）即不存在激励问题，因此委托人选择合约时只需要保证代理人会接受，即满足参与约束（participation constraint）或个体理性约束（individual-rationality constraint）。此时，合约选择问题形同委托人同时选择给代理人的报酬和代理人的努力程度。注意到目标函数关于 $w$ 递减，约束条件关于 $w$ 递增，因此最优解必然满足等式约束。

Lagrangian 函数为

L = \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) B (x_{i} - w (x_{i})) + λ [\sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) u (w (x_{i})) - c (e) - \bar{u}]

F.O.C.

\frac{\partial L}{\partial w (x_{i})} = - p (x_{i} ∣ e) B^{'} (x_{i} - w (x_{i})) + λ p (x_{i} ∣ e) u^{'} (w (x_{i})) = 0

\frac{B^{'} (x_{i} - w (x_{i}))}{B^{'} (x_{j} - w (x_{j}))} = \frac{u^{'} (w (x_{i}))}{u^{'} (w (x_{j}))}

假设只有两种可能的结果，上式可以用 Edgeworth box 表示

$O_{A} A$ 线表示代理人固定报酬合约（ $w (x_{1}) = w (x_{1})$ ），委托人承担全部风险
$O_{P} P$ 线表示委托人固定利润合约（ $x_{1} - w (x_{1}) = x_{2} - w (x_{2})$ ），代理人承担全部风险
如果双方均是风险规避的，则双方分摊风险（最优点在 $O_{A} A$ 和 $O_{P} P$ ）之间

风险偏好 1

如果委托人是风险中性的，则

B^{'} (\cdot) = c o n s t a n t ⟹ u^{'} (w (x_{i})) = u^{'} (w (x_{j}))

如果代理人是风险规避的，则

u^{'} (w (x_{i})) = u^{'} (w (x_{j})) ⟹ w (x_{i}) = w (x_{j}) for all i, j \in {1, 2 \dots, n}

因此，最优合约是代理人固定报酬合约。

u (w^{*}) - c (e) = \bar{u} ⟹ w^{*} = u^{- 1} (\bar{u} + c (e))

风险偏好 2

如果委托人是风险规避的，代理人是风险中性的，与上述推理过程恰好相反

B^{'} (x_{i} - w (x_{i})) = B^{'} (x_{j} - w (x_{j})) ⟹ x_{i} - w (x_{i}) = x_{j} - w (x_{j}) for all i, j \in {1, 2 \dots, n}

因此，最优合约是委托人固定利润合约。

假设固定利润为 $k$ ，则报酬合约为 $w (x_{i}) = x_{i} - k$

\sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) [x_{i} - k] - c (e) = \bar{u} ⟹ k = \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i} ∣ e) x_{i} - c (e) - \bar{u}

风险偏好 3

如果委托人和代理人都是风险规避的，考虑连续型结果更加直观：
F.O.C.

- B^{'} (x_{i} - w (x_{i})) + λ u^{'} (w (x_{i})) = 0 ⟹ \frac{B^{'} (x_{i} - w (x_{i}))}{u^{'} (w (x_{i}))} = λ

等式两边对 $x_{i}$ 求导可得

\begin{aligned} B^{″} (\cdot) (1 - \frac{d w}{d x_{i}}) u^{'} (\cdot) - B^{'} (\cdot) u^{″} (\cdot) \frac{d w}{d x_{i}} & = 0 \\ \frac{B^{″} (\cdot)}{B^{'} (\cdot)} (1 - \frac{d w}{d x_{i}}) - \frac{u^{″} (\cdot)}{u^{'} (\cdot)} \frac{d w}{d x_{i}} & = 0 \end{aligned}

根据绝对风险规避系数的定义，令 $R_{P} \equiv - \frac{B^{″} (\cdot)}{B^{'} (\cdot)}$ 以及 $R_{A} \equiv - \frac{u^{″} (\cdot)}{u^{'} (\cdot)}$ ，解得

\frac{d w}{d x_{i}} = \frac{R_{P}}{R_{P} + R_{A}}

因此，委托人的风险规避程度相对更低将导致代理人的报酬对结果的依赖较小。极端情况下，委托人风险中性（ $R_{P} = 0$ ）将导致代理人的报酬与结果完全不相关（固定报酬）。

如果委托人和代理人的绝对风险规避系数为常数，则上述条件相当于线性合约

w (x_{i}) = b x_{i} + c where b = \frac{R_{P}}{R_{P} + R_{A}}

此时，委托人和代理人具有 CARA 效用函数

\begin{aligned} B (x - w) & = \exp [- R_{P} (x - w)] \\ u (w) & = \exp [- R_{A} w] \end{aligned}